सिद्ध कीजिए कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी भी पूर्णांक $q$ के लिए $5q+2$ या $5q+3$ के रूप का नहीं हो सकता है।

(A) माना कि $a$ एक स्वैच्छिक धनात्मक पूर्णांक है।
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,पूर्णांकों $a$ और $5$ के लिए,ऐसे गैर-ऋणात्मक पूर्णांक $m$ और $r$ मौजूद हैं कि $a = 5m + r$,जहाँ $0 \leq r < 5$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $a^2 = (5m + r)^2 = 25m^2 + 10mr + r^2 = 5(5m^2 + 2mr) + r^2$।
माना $q' = 5m^2 + 2mr$,तो $a^2 = 5q' + r^2$।
हम $r \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ के सभी संभावित मानों की जाँच करते हैं:
स्थिति $I$: यदि $r=0$,तो $a^2 = 5(5m^2) = 5q$,जो $5q$ के रूप में है।
स्थिति $II$: यदि $r=1$,तो $a^2 = 5(5m^2 + 2m) + 1 = 5q + 1$,जो $5q+1$ के रूप में है।
स्थिति $III$: यदि $r=2$,तो $a^2 = 5(5m^2 + 4m) + 4 = 5q + 4$,जो $5q+4$ के रूप में है।
स्थिति $IV$: यदि $r=3$,तो $a^2 = 5(5m^2 + 6m) + 9 = 5(5m^2 + 6m + 1) + 4 = 5q + 4$,जो $5q+4$ के रूप में है।
स्थिति $V$: यदि $r=4$,तो $a^2 = 5(5m^2 + 8m) + 16 = 5(5m^2 + 8m + 3) + 1 = 5q + 1$,जो $5q+1$ के रूप में है।
अतः,सभी स्थितियों में $a^2$ का मान $5q, 5q+1,$ या $5q+4$ के रूप में होता है। इसलिए,यह $5q+2$ या $5q+3$ के रूप का नहीं हो सकता है।