સાબિત કરો કે જેની દિકકોસાઇન $2l + 2m - n = 0$ અને $mn + nl + lm = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે તેવી સીધી રેખાઓ કાટખૂણે છે.

(A) આપણી પાસે છે,$2l + 2m - n = 0 \dots (i)$
અને $mn + nl + lm = 0 \dots (ii)$
$(i)$ પરથી,$n = 2l + 2m$. આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$m(2l + 2m) + (2l + 2m)l + lm = 0$
$2lm + 2m^2 + 2l^2 + 2lm + lm = 0$
$2l^2 + 5lm + 2m^2 = 0$
$2l^2 + 4lm + lm + 2m^2 = 0$
$2l(l + 2m) + m(l + 2m) = 0$
$(2l + m)(l + 2m) = 0$
કિસ્સો $1$: $m = -2l$. તો $n = 2l + 2(-2l) = -2l$. દિકગુણોત્તર $(l, -2l, -2l)$ મળે છે,જે $(1, -2, -2)$ ના પ્રમાણમાં છે.
કિસ્સો $2$: $l = -2m$. તો $n = 2(-2m) + 2m = -2m$. દિકગુણોત્તર $(-2m, m, -2m)$ મળે છે,જે $(2, -1, 2)$ ના પ્રમાણમાં છે.
ધારો કે દિકગુણોત્તર $a_1, b_1, c_1 = (1, -2, -2)$ અને $a_2, b_2, c_2 = (2, -1, 2)$ છે.
પરસ્પર લંબ હોવાની શરત $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$ છે.
$(1)(2) + (-2)(-1) + (-2)(2) = 2 + 2 - 4 = 0$.
સરવાળો $0$ હોવાથી,રેખાઓ કાટખૂણે છે.