सिद्ध कीजिए कि एक $A.P.$ के $(m+n)^{th}$ और $(m-n)^{th}$ पदों का योग $m^{th}$ पद के दोगुने के बराबर होता है।

माना $a$ और $d$ क्रमशः $A.P.$ का प्रथम पद और सार्व अंतर हैं।
हम जानते हैं कि $A.P.$ का $k^{th}$ पद $a_{k} = a + (k - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$a_{m+n} = a + (m + n - 1)d$ और $a_{m-n} = a + (m - n - 1)d$ है।
साथ ही,$m^{th}$ पद $a_{m} = a + (m - 1)d$ है।
अब,$(m+n)^{th}$ और $(m-n)^{th}$ पदों का योग:
$a_{m+n} + a_{m-n} = [a + (m + n - 1)d] + [a + (m - n - 1)d]$
$= 2a + (m + n - 1 + m - n - 1)d$
$= 2a + (2m - 2)d$
$= 2a + 2(m - 1)d$
$= 2[a + (m - 1)d]$
$= 2a_{m}$
अतः,एक $A.P.$ के $(m+n)^{th}$ और $(m-n)^{th}$ पदों का योग $m^{th}$ पद के दोगुने के बराबर है।