$P(2, 3)$ से गुजरने वाली और रेखा $x + y = 7$ को $P$ से $4$ इकाई की दूरी पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा का ढाल ज्ञात कीजिए।

तीन बिंदु $P(h, k)$,$Q(x_{1}, y_{1})$ और $R(x_{2}, y_{2})$ एक रेखा पर स्थित हैं। सिद्ध कीजिए कि $(h-x_{1})(y_{2}-y_{1}) = (k-y_{1})(x_{2}-x_{1})$ है।

बिंदु $P(a, 0)$ से गुजरने वाली एक रेखा धनात्मक $x$-अक्ष के साथ न्यून कोण $\alpha$ बनाती है। मान लीजिए कि इस रेखा को बिंदु $P$ के परितः घड़ी की दिशा में $\frac{\alpha}{2}$ कोण से घुमाया जाता है। यदि नई स्थिति में,रेखा की ढाल $2-\sqrt{3}$ है और मूल बिंदु से इसकी दूरी $\frac{1}{\sqrt{2}}$ है,तो $3a^2 \tan^2 \alpha - 2\sqrt{3}$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक त्रिभुज का शीर्ष $A$ रेखाओं $x+y=1$ और $2x+3y=6$ पर स्थित है। यदि त्रिभुज का लंबकेंद्र $O\left(\frac{3}{7}, \frac{22}{7}\right)$ है,तो $OA$ का समीकरण अभिलंब रूप में क्या होगा?

फारेनहाइट तापमान $F$ और निरपेक्ष तापमान $K$ एक रैखिक समीकरण को संतुष्ट करते हैं। दिया गया है कि जब $F=32$ है तो $K=273$ है और जब $F=212$ है तो $K=373$ है। $K$ को $F$ के पदों में व्यक्त करें और $K=0$ होने पर $F$ का मान ज्ञात करें।

निर्देशांक अक्षों के बीच एक रेखा का अंतःखंड $(-5, 4)$ बिंदु द्वारा $1 : 2$ के अनुपात में विभाजित होता है। रेखा का समीकरण क्या होगा?