अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = frac{y - x}{y + x} | vedclass

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Question

(A) दिया गया समघातीय अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y - x}{y + x}$ है।$y = vx$ रखने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।समीकरण

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$\log_e(x^2 + y^2) + 2	an^{-1}\left(\frac{y}{x}ight) + c = 0$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया समघातीय अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y - x}{y + x}$ है।$y = vx$ रखने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।समीकरण में मान रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{vx - x}{vx + x} = \frac{v - 1}{v + 1}$।पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x\frac{dv}{dx} = \frac{v - 1}{v + 1} - v = \frac{v - 1 - v^2 - v}{v + 1} = -\frac{v^2 + 1}{v + 1}$।चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dx}{x} = -\int \frac{v + 1}{v^2 + 1} dv$।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\log_e x = -\left[ \frac{1}{2} \int \frac{2v}{v^2 + 1} dv + \int \frac{1}{v^2 + 1} dv ight] + c$।$\log_e x = -\frac{1}{2} \log_e(v^2 + 1) - 	an^{-1}v + c$।$-2$ से गुणा करने पर: $-2\log_e x = \log_e(v^2 + 1) + 2	an^{-1}v + c$।$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $-2\log_e x = \log_e\left(\frac{y^2}{x^2} + 1ight) + 2	an^{-1}\left(\frac{y}{x}ight) + c$।$-2\log_e x = \log_e\left(\frac{y^2 + x^2}{x^2}ight) + 2	an^{-1}\left(\frac{y}{x}ight) + c$।$-2\log_e x = \log_e(x^2 + y^2) - 2\log_e x + 2	an^{-1}\left(\frac{y}{x}ight) + c$।अतः,$\log_e(x^2 + y^2) + 2	an^{-1}\left(\frac{y}{x}ight) + c = 0$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y - x}{y + x}$ का हल है

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