अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + x sin^2 y = sin y | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + x \sin^2 y = \sin y \cos y$दोनों पक्षों को $\sin^2 y$ से विभाजित करने पर: $\csc^2 y \frac{dy}{dx} + x = \co

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$\cot\,y = (x - 1) + Ce^{-x}$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + x \sin^2 y = \sin y \cos y$दोनों पक्षों को $\sin^2 y$ से विभाजित करने पर: $\csc^2 y \frac{dy}{dx} + x = \cot y$पदों को व्यवस्थित करने पर: $\csc^2 y \frac{dy}{dx} - \cot y = -x$माना $v = \cot y$ है। तब $\frac{dv}{dx} = -\csc^2 y \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $-\frac{dv}{dx} = \csc^2 y \frac{dy}{dx}$।इस मान को समीकरण में रखने पर: $-\frac{dv}{dx} - v = -x$,या $\frac{dv}{dx} + v = x$।यह $\frac{dv}{dx} + Pv = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 1$ और $Q = x$ है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int 1 dx} = e^x$ है।व्यापक हल $v \cdot e^x = \int x e^x dx + C$ है।खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x = (x - 1)e^x$।अतः,$v e^x = (x - 1)e^x + C$।$e^x$ से विभाजित करने पर: $v = (x - 1) + Ce^{-x}$।$v = \cot y$ वापस रखने पर: $\cot y = (x - 1) + Ce^{-x}$।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + x \sin^2 y = \sin y \cos y$ का हल ज्ञात कीजिए।

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माना $y=y(x)$ अवकल समीकरण $x y^{\prime}-y=x^{2}(x \cos x+\sin x), x>0$ का हल है। यदि $y(\pi)=\pi$ है,तो $y^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)+y\left(\frac{\pi}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक फलन $y = f(x)$ अवकल समीकरण $f(x) \sin 2x - \cos x + (1 + \sin^2 x) f'(x) = 0$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $f(0) = 0$ है। तो $f(\frac{\pi}{6})$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $f$ एक अवकलनीय फलन है जैसे कि $f'(x) = 7 - \frac{3}{4} \frac{f(x)}{x}, (x > 0)$ और $f(1) \neq 4$ है। तो $\lim_{x \to 0^+} x f\left(\frac{1}{x}\right)$

अवकल समीकरण $(1+y^2) + (x - e^{\tan^{-1} y}) \frac{dx}{dy} = 0$ का हल ज्ञात कीजिए।

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