अवकल समीकरण sin left( frac{dy}{dx} right) = a | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\sin \left( \frac{dy}{dx} \right) = a$ है। दोनों पक्षों का प्रतिलोम ज्या (inverse sine) लेने पर,$\frac{dy}{dx} = \sin^{-1}(a

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$\sin \left( \frac{y - 1}{x} \right) = a$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण $\sin \left( \frac{dy}{dx} \right) = a$ है। दोनों पक्षों का प्रतिलोम ज्या (inverse sine) लेने पर,$\frac{dy}{dx} = \sin^{-1}(a)$ प्राप्त होता है। यह चर पृथक्करणीय (variable separable) प्रकार का अवकल समीकरण है। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\int dy = \int \sin^{-1}(a) \, dx$ प्राप्त होता है। चूँकि $\sin^{-1}(a)$ एक स्थिरांक है,इसलिए $y = x \sin^{-1}(a) + c$ प्राप्त होता है। प्रारंभिक स्थिति $y(0) = 1$ का उपयोग करते हुए,$x = 0$ और $y = 1$ रखने पर: $1 = 0 \cdot \sin^{-1}(a) + c \implies c = 1$। अतः,समीकरण $y = x \sin^{-1}(a) + 1$ हो जाता है। पदों को व्यवस्थित करने पर,$y - 1 = x \sin^{-1}(a)$,जिसका अर्थ है कि $\frac{y - 1}{x} = \sin^{-1}(a)$। दोनों पक्षों का $\sin$ लेने पर,हमें $\sin \left( \frac{y - 1}{x} \right) = a$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $\sin \left( \frac{dy}{dx} \right) = a$ का हल,जहाँ $y(0) = 1$ है,ज्ञात कीजिए।

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