यदि I_n = int (ln x)^n dx है,तो I_n + n I_{n- | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $I_n = \int (\ln x)^n dx$. खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = (\ln x)^n$ और $dv = dx$. तब $du = n(\l

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$x(\ln x)^n + k$

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(B) दिया गया है $I_n = \int (\ln x)^n dx$. खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = (\ln x)^n$ और $dv = dx$. तब $du = n(\ln x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है। $I_n = x(\ln x)^n - \int x \cdot \frac{n(\ln x)^{n-1}}{x} dx + k$. $I_n = x(\ln x)^n - n \int (\ln x)^{n-1} dx + k$. चूंकि $I_{n-1} = \int (\ln x)^{n-1} dx$,इसलिए हमें प्राप्त होता है: $I_n = x(\ln x)^n - n I_{n-1} + k$. पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है: $I_n + n I_{n-1} = x(\ln x)^n + k$.

यदि $I_n = \int (\ln x)^n dx$ है,तो $I_n + n I_{n-1}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int \frac{\cot^{-1}(e^x)}{e^x} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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