बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
$(i)$ $\tan A$ का मान सदैव $1$ से कम होता है।
$(ii)$ कोण $A$ के किसी मान के लिए $\sec A = \frac{12}{5}$ है।

(A-D) $(i)$ असत्य।
एक ऐसा समकोण त्रिभुज मानिए जिसमें $\angle A$ की सम्मुख भुजा $12$ इकाई और $\angle A$ की संलग्न भुजा $5$ इकाई है। तब $\tan A = \frac{12}{5} = 2.4$ होगा। चूँकि $2.4 > 1$,इसलिए यह कथन कि $\tan A$ सदैव $1$ से कम होता है,असत्य है।
$(ii)$ सत्य।
हम जानते हैं कि $\sec A = \frac{\text{कर्ण}}{\angle A \text{ की संलग्न भुजा}}$.
यहाँ $\sec A = \frac{12}{5}$ दिया गया है,अतः मान लीजिए कि कर्ण $AC = 12k$ और संलग्न भुजा $AB = 5k$ है,जहाँ $k$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$BC^2 = AC^2 - AB^2 = (12k)^2 - (5k)^2 = 144k^2 - 25k^2 = 119k^2$।
अतः,$BC = \sqrt{119}k \approx 10.9k$।
चूँकि भुजाओं $5k, 10.9k$ और $12k$ वाला त्रिभुज त्रिभुज असमिका का पालन करता है $(5k + 10.9k > 12k)$,इसलिए ऐसा त्रिभुज संभव है। अतः,दिया गया कथन सत्य है।