मान लीजिए left| begin{array}{cc} f'(x) & f(x) | vedclass

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Question

(B) दिया गया सारणिक: $\left| \begin{array}{cc} f'(x) & f(x) \ f''(x) & f'(x) \end{array} ight| = 0$इसका अर्थ है $(f'(x))^2 - f(x)f''(x) = 0$.$(f'(x

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$1$

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(B) दिया गया सारणिक: $\left| \begin{array}{cc} f'(x) & f(x) \ f''(x) & f'(x) \end{array} ight| = 0$इसका अर्थ है $(f'(x))^2 - f(x)f''(x) = 0$.$(f'(x))^2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{f'(x)f'(x) - f(x)f''(x)}{(f'(x))^2} = 0$,जो भागफल नियम के अनुसार $\frac{f(x)}{f'(x)}$ का अवकलज है।अतः,$\frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{f'(x)} ight) = 0$,जिसका अर्थ है $\frac{f(x)}{f'(x)} = C$ (एक स्थिरांक)।प्रारंभिक शर्तों $f(0) = 1$ और $f'(0) = 2$ का उपयोग करने पर,हमें $C = \frac{f(0)}{f'(0)} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।इसलिए,$\frac{f(x)}{f'(x)} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} = 2$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\ln|f(x)| = 2x + k$। चूँकि $f(0) = 1$,इसलिए $k = 0$,अतः $f(x) = e^{2x}$।हमें $e^{2x} = x^2$ के हलों की संख्या ज्ञात करनी है।मान लीजिए $g(x) = e^{2x} - x^2$। $g'(x) = 2e^{2x} - 2x = 2(e^{2x} - x)$। सभी वास्तविक $x$ के लिए $e^{2x} > x$ होता है,इसलिए $g'(x) > 0$,अतः $g(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।जब $x 	o -\infty$,तब $g(x) 	o \infty$। जब $x 	o 0$,तब $g(0) = 1$। जब $x 	o -\infty$,तब $e^{2x} 	o 0$ और $x^2 	o \infty$। इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,यहाँ केवल एक हल मौजूद है।

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यदि $\Delta(x) = \begin{vmatrix} x-2 & (x-1)^2 & x^3 \\ x-1 & x^2 & (x+1)^3 \\ x & (x+1)^2 & (x+2)^3 \end{vmatrix}$ है, तो $\Delta(x)$ में $x$ का गुणांक ज्ञात कीजिए।

यदि $A = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix}$ जहाँ $a = 7^x$,$b = 7^{7^x}$,$c = 7^{7^{7^x}}$ है,तो $\int |A| \, dx$ (जहाँ $|A|$ आव्यूह $A$ का सारणिक है) का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x) = \begin{vmatrix} \cos x & \sin x & \cos x \\ \cos 2x & \sin 2x & 2\cos 2x \\ \cos 3x & \sin 3x & 3\cos 3x \end{vmatrix}$. तब $f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = $

यदि $\left| \begin{array}{ccc} 1 + ax & 1 + bx & 1 + cx \\ 1 + a_1x & 1 + b_1x & 1 + c_1x \\ 1 + a_2x & 1 + b_2x & 1 + c_2x \end{array} \right| = A_0 + A_1x + A_2x^2 + A_3x^3$ है,तो $A_1$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 2 \cos x & 1 & 0 \\ x - \frac{\pi}{2} & 2 \cos x & 1 \\ 0 & 1 & 2 \cos x \end{array} \right|$ है, तो $f^{\prime}(\pi)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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