मान लीजिए कि $A$ कोई $3 \times 3$ नॉन-सिंगुलर आव्यूह है और $(A - 3I)(A - 5I) = O$,जहाँ $I = I_3$ और $O = O_3$ है। यदि $\alpha A + \beta A^{-1} = 4I$ है,तो $\alpha + \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $P=\begin{bmatrix} -30 & 20 & 56 \\ 90 & 140 & 112 \\ 120 & 60 & 14 \end{bmatrix}$ और $A=\begin{bmatrix} 2 & 7 & \omega^{2} \\ -1 & -\omega & 1 \\ 0 & -\omega & -\omega+1 \end{bmatrix}$,जहाँ $\omega=\frac{-1+ i \sqrt{3}}{2}$,और $I_{3}$ कोटि $3$ का तत्समक आव्यूह है। यदि आव्यूह $(P^{-1}AP - I_{3})^{2}$ का सारणिक $\alpha \omega^{2}$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$ एक विषम-सममित आव्यूह (skew-symmetric matrix) है और $b, c, f$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं, तो $\frac{b}{c} = $

यदि $\omega$ समीकरण $x+\frac{1}{x}+1=0$ का एक मूल है,तो सारणिक $\left|\begin{array}{ccc}1 & 1+\omega & 1+\omega+\omega^2 \\ 3 & 4+3 \omega & 5+4 \omega+3 \omega^2 \\ 6 & 9+6 \omega & 11+9 \omega+6 \omega^2\end{array}\right|$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए $\left| \begin{array}{ccc} (a-x)^2 & (a-y)^2 & (a-z)^2 \\ (b-x)^2 & (b-y)^2 & (b-z)^2 \\ (c-x)^2 & (c-y)^2 & (c-z)^2 \end{array} \right| = \frac{-351}{8}$. यदि $x, y, z$ समीकरण $8t^3 - 62t^2 + 43t - 7 = 0$ के मूल हैं और $a, b, c$ भिन्न संख्याएँ हैं,तो $|(a-b)(b-c)(c-a)|$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $z_1 = 2 + 3 \ i$ और $z_2 = 3 + 2 \ i$,जहाँ $i = \sqrt{-1}$ है,तो $\begin{bmatrix} z_1 & z_2 \\ -\bar{z}_2 & \bar{z}_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bar{z}_1 & -z_2 \\ \bar{z}_2 & z_1 \end{bmatrix} =$