मान लीजिए n एक प्राकृतिक संख्या है जिसके लिए | vedclass

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Question

(C) माना $S_n = i + 2i^2 + 3i^3 + \ldots + ni^n$ $(i)$$i$ से गुणा करने पर,$iS_n = i^2 + 2i^3 + \ldots + (n-1)i^n + ni^{n+1}$ (ii)$(i)$ में से (ii) घटा

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$36$

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(C) माना $S_n = i + 2i^2 + 3i^3 + \ldots + ni^n$ $(i)$$i$ से गुणा करने पर,$iS_n = i^2 + 2i^3 + \ldots + (n-1)i^n + ni^{n+1}$ (ii)$(i)$ में से (ii) घटाने पर:$S_n(1 - i) = i + i^2 + i^3 + \ldots + i^n - ni^{n+1}$$S_n(1 - i) = \frac{i(1 - i^n)}{1 - i} - ni^{n+1}$चूंकि $(1 - i)^2 = -2i$,इसलिए:$S_n = \frac{i(1 - i^n)}{-2i} - \frac{ni^{n+1}(1 + i)}{2} = \frac{i^n - 1}{2} - \frac{ni^{n+1}(1 + i)}{2}$बड़े $n$ के लिए,$n$ वाला पद प्रभावी है। $|S_n| = 18\sqrt{2}$ दिया गया है:$|S_n| \approx |\frac{ni^{n+1}(1 + i)}{2}| = \frac{n}{\sqrt{2}}$अतः $\frac{n}{\sqrt{2}} = 18\sqrt{2}$,जिसका अर्थ है $n = 36$।

मान लीजिए $n$ एक प्राकृतिक संख्या है जिसके लिए $|i + 2i^2 + 3i^3 + \ldots + ni^n| = 18\sqrt{2}$,जहाँ $i = \sqrt{-1}$ है। तो,$n$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $z_1=x_1+i y_1$, $z_2=x_2+i y_2$, $z_3=x_1+\frac{i x_2}{2}$, और $z_4=2 y_1+i y_2$ ऐसी सम्मिश्र संख्याएँ हैं कि $|z_1|=1$, $|z_2|=2$, और $\operatorname{Re}(z_1 \bar{z}_2)=0$, तो:

यदि $\sqrt{5}-i \sqrt{15}=r(\cos \theta+i \sin \theta)$ जहाँ $-\pi < \theta < \pi$ है,तो $r^2(\sec \theta+3 \operatorname{cosec}^2 \theta)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$z = \frac{3 + 2i \sin \theta}{1 - 2i \sin \theta}, \quad (i = \sqrt{-1})$ शुद्ध काल्पनिक होगा यदि $\theta =$

$\left(\frac{-1+i \sqrt{3}}{1-i}\right)^{30}$ का मान क्या है?

वास्तविक $\theta$ ज्ञात कीजिए ताकि $\frac{3+2 i \sin \theta}{1-2 i \sin \theta}$ शुद्ध वास्तविक हो।

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