$\left(\frac{-1+i \sqrt{3}}{1-i}\right)^{30}$ का मान क्या है?

यदि $\left(\frac{\cos \theta+i \sin \theta}{\sin \theta+i \cos \theta}\right)^{2024}+\left(\frac{1+\cos \theta+i \sin \theta}{1-\cos \theta+i \sin \theta}\right)^{2025}=x+i y$ है,तो $\theta=\frac{\pi}{2}$ पर $x+y$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + c$ वास्तविक गुणांकों वाला एक बहुपद है,जहाँ $f(1) = -9$ है। मान लीजिए कि $i\sqrt{3}$ समीकरण $4x^3 + 3ax^2 + 2bx = 0$ का एक मूल है,जहाँ $i = \sqrt{-1}$ है। यदि $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ और $\alpha_4$ समीकरण $f(x) = 0$ के सभी मूल हैं,तो $|\alpha_1|^2 + |\alpha_2|^2 + |\alpha_3|^2 + |\alpha_4|^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $z_1$ और $z_2$ समीकरण $x^2+2x+2=0$ के मूल हैं,तो $\frac{-2^{11}(z_1+1+3i)^{11}}{2^5(z_2+1-3i)^{11}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $z$ एक सम्मिश्र संख्या है जो $|z|^3 + 2z^2 + 4\bar{z} - 8 = 0$ को संतुष्ट करती है,जहाँ $\bar{z}$,$z$ का सम्मिश्र संयुग्मी है। माना $z$ का काल्पनिक भाग शून्य नहीं है।
सूची-$I$ की प्रत्येक प्रविष्टि को सूची-$II$ की सही प्रविष्टियों से सुमेलित करें।

सूची-$I$	सूची-$II$
$(P)$ $|z|^2$ बराबर है	$(1)$ $12$
$(Q)$ $|z-\bar{z}|^2$ बराबर है	$(2)$ $4$
$(R)$ $|z|^2+|z+\bar{z}|^2$ बराबर है	$(3)$ $8$
$(S)$ $|z+1|^2$ बराबर है	$(4)$ $10$
	$(5)$ $7$

$\left(\frac{\cos \theta+i \sin \theta}{\sin \theta+i \cos \theta}\right)^8+\left(\frac{1+\cos \theta-i \sin \theta}{1+\cos \theta+i \sin \theta}\right)^{16}=$