श्रेणी frac{2}{1!} + frac{7}{2!} + frac{15}{3 | vedclass

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Question

(B) दी गई श्रेणी $\frac{2}{1!} + \frac{7}{2!} + \frac{15}{3!} + \frac{26}{4!} + \dots$ है।अंशों का अवलोकन करें: $2, 7, 15, 26, \dots$मान लीजिए $a_n$ $

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$\frac{n(3n + 1)}{2(n!)}$

Vedclass · Answer

(B) दी गई श्रेणी $\frac{2}{1!} + \frac{7}{2!} + \frac{15}{3!} + \frac{26}{4!} + \dots$ है।अंशों का अवलोकन करें: $2, 7, 15, 26, \dots$मान लीजिए $a_n$ $n$ वें पद का अंश है। क्रमागत पदों के बीच का अंतर $5, 8, 11, \dots$ है,जो एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाते हैं जिसका प्रथम पद $a = 5$ और सार्व अंतर $d = 3$ है।अंश अनुक्रम के $n$ वें पद को इस $AP$ के प्रथम $n$ पदों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:$a_n = 2 + \sum_{k=0}^{n-1} (5 + 3k) = 2 + \frac{n}{2} [2(5) + (n-1)3] = 2 + \frac{n}{2} [10 + 3n - 3] = 2 + \frac{n(3n + 7)}{2} = \frac{4 + 3n^2 + 7n}{2}$.वैकल्पिक रूप से,विकल्पों में दिए गए पैटर्न को देखते हुए:$T_n = \frac{2 + 5 + 8 + \dots + (3n - 1)}{n!} = \frac{\frac{n}{2}[2(2) + (n-1)3]}{n!} = \frac{\frac{n}{2}[4 + 3n - 3]}{n!} = \frac{n(3n + 1)}{2(n!)}$.

श्रेणी $\frac{2}{1!} + \frac{7}{2!} + \frac{15}{3!} + \frac{26}{4!} + \dots$ का $n$ वां पद क्या है?

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