उन सीधी रेखाओं के बीच का कोण,जिनकी दिक कोज्या | vedclass

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Question

(A) दिए गए समीकरण $n = 2(l + m)$ और $mn + nl + lm = 0$ हैं। दूसरे समीकरण में $n = 2(l + m)$ प्रतिस्थापित करने पर: $m(2l + 2m) + 2l(l + m) + lm = 0$ $2

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$\frac{\pi}{2}$

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(A) दिए गए समीकरण $n = 2(l + m)$ और $mn + nl + lm = 0$ हैं। दूसरे समीकरण में $n = 2(l + m)$ प्रतिस्थापित करने पर: $m(2l + 2m) + 2l(l + m) + lm = 0$ $2lm + 2m^2 + 2l^2 + 2lm + lm = 0$ $2l^2 + 5lm + 2m^2 = 0$ $m^2$ से भाग देने पर,हमें $2t^2 + 5t + 2 = 0$ प्राप्त होता है,जहाँ $t = \frac{l}{m}$ है। द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(2t + 1)(t + 2) = 0$,इसलिए $t = -\frac{1}{2}$ या $t = -2$। स्थिति $1$: यदि $\frac{l}{m} = -2$,तो $l = -2m$। $n = 2(l + m)$ में रखने पर,$n = 2(-2m + m) = -2m$ प्राप्त होता है। दिक अनुपात $(-2m, m, -2m)$ हैं,जो $(-2, 1, -2)$ के रूप में सरल होते हैं। स्थिति $2$: यदि $\frac{l}{m} = -\frac{1}{2}$,तो $m = -2l$। $n = 2(l + m)$ में रखने पर,$n = 2(l - 2l) = -2l$ प्राप्त होता है। दिक अनुपात $(l, -2l, -2l)$ हैं,जो $(1, -2, -2)$ के रूप में सरल होते हैं। मान लीजिए दिक अनुपात $\vec{a} = (-2, 1, -2)$ और $\vec{b} = (1, -2, -2)$ हैं। कोण $	heta$ का कोसाइन $\cos 	heta = \frac{|a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3|}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}$ द्वारा दिया जाता है। $\cos 	heta = \frac{|(-2)(1) + (1)(-2) + (-2)(-2)|}{\sqrt{4+1+4} \sqrt{1+4+4}} = \frac{|-2 - 2 + 4|}{3 	imes 3} = 0$। अतः,$	heta = \frac{\pi}{2}$।

उन सीधी रेखाओं के बीच का कोण,जिनकी दिक कोज्याएं (direction cosines) समीकरणों $2l + 2m - n = 0$ और $mn + nl + lm = 0$ द्वारा दी गई हैं,है:

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यदि एक रेखा के दिक्-कोसाइन $\frac{1}{c}, \frac{1}{c}, \frac{1}{c}$ हैं,तो:

दो रेखाओं के बीच का न्यून कोण ज्ञात कीजिए जिनके दिक अनुपात $(l, m, n)$ समीकरणों $l+m-n=0$ और $l^2+m^2-n^2=0$ को संतुष्ट करते हैं।

यदि $OP = 8$ और $\overrightarrow{OP}$,$OX$-अक्ष और $OY$-अक्ष के साथ क्रमशः $45^\circ$ और $60^\circ$ का कोण बनाता है,तो $\overrightarrow{OP} = $

$P(2, 3, 5)$ और $Q(-1, 2, 4)$ बिंदुओं से होकर जाने वाली रेखा की दिक्-कोसाइन (direction cosines) ज्ञात कीजिए।

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