એક ભ્રમણ કરતી વસ્તુનું કોણીય વેગમાન $L$ છે. જ્યારે ભ્રમણ કરતી વસ્તુની આવૃત્તિ ત્રણ ગણી કરવામાં આવે અને તેની ગતિઊર્જા એક-તૃતીયાંશ કરવામાં આવે,ત્યારે નવું કોણીય વેગમાન કેટલું થાય?

એન્જિન સાથે ફ્લાયવ્હીલનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે કારણ કે તે

$Assertion :$ પોલા શાફ્ટને સમાન દ્રવ્ય અને સમાન દળ ધરાવતા નક્કર શાફ્ટ કરતા વધુ મજબૂત ગણવામાં આવે છે।
$Reason :$ પોલા નળાકારમાં આપેલ વળ (twist) ઉત્પન્ન કરવા માટે જરૂરી ટોર્ક, સમાન લંબાઈ અને દ્રવ્યના નક્કર નળાકારને વળ આપવા માટે જરૂરી ટોર્ક કરતા વધારે હોય છે।

એક સમાન તકતી સમક્ષિતિજ સપાટી પર ગબડી રહી છે. કોઈ ચોક્કસ ક્ષણે,$B$ એ સંપર્ક બિંદુ છે અને $A$ એ તકતીનું સૌથી ઉપરનું બિંદુ છે,જ્યાં $R$ એ તકતીની ત્રિજ્યા છે.

આકૃતિ $1$ માં દર્શાવ્યા મુજબ એક વ્યક્તિ પોતાની આંગળીના ટેરવા પાસે $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યાની એક વર્તુળાકાર રીંગને ફેરવે છે. આ પ્રક્રિયામાં,આંગળી રીંગની અંદરની ધાર સાથેનો સંપર્ક ક્યારેય ગુમાવતી નથી. આંગળી શંકુની સપાટી બનાવે છે,જે તૂટક રેખા દ્વારા દર્શાવેલ છે. રીંગ અને આંગળી જ્યાં સંપર્કમાં છે તે બિંદુ દ્વારા રચાયેલા પથની ત્રિજ્યા $r$ છે. આંગળી $\omega_0$ કોણીય વેગ સાથે ફરે છે. ફરતી રીંગ એ નાના વર્તુળની બહારની બાજુએ સરક્યા વિના ગબડે છે જે રીંગ અને આંગળીના સંપર્ક બિંદુ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે (આકૃતિ $2$). રીંગ અને આંગળી વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક $\mu$ છે અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ છે.
$(1)$ રીંગની કુલ ગતિ ઊર્જા કેટલી છે?
$[A]$ $M \omega_0^2 R^2$ $[B]$ $\frac{1}{2} M \omega_0^2(R-r)^2$ $[C]$ $M \omega_0^2(R-r)^2$ $[D]$ $\frac{3}{2} M \omega_0^2(R-r)^2$
$(2)$ $\omega_0$ નું લઘુત્તમ મૂલ્ય જેનાથી નીચે રીંગ નીચે પડી જશે તે છે:
$[A]$ $\sqrt{\frac{g}{\mu(R-r)}}$ $[B]$ $\sqrt{\frac{2 g}{\mu(R-r)}}$ $[C]$ $\sqrt{\frac{3 g}{2 \mu(R-r)}}$ $[D]$ $\sqrt{\frac{g}{2 \mu(R-r)}}$
પ્રશ્ન $(1)$ અને $(2)$ ના જવાબ આપો:

વિધાન-$1$: એક પદાર્થ $\omega$ કોણીય વેગ અને $I$ જડત્વની ચાકમાત્રા સાથે અક્ષ પર ભ્રમણ કરે છે. જો કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોય,તો તેનું કોણીય વેગમાન $L$ અચળ રહે છે,પરંતુ તેની ચાકગતિ ઊર્જા $K$ ઘટે છે.
વિધાન-$2$: $L = I\omega$ અને $K = \frac{L^2}{2I} = \frac{1}{2} I\omega^2$.