परवलय y^2 = 4x को बिंदु (1, 2) पर और x-अक्ष क | vedclass

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Question

(B) परवलय $y^2 = 4x$ के बिंदु $(1, 2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $2y = 4\left(\frac{x + 1}{2}\right)$ है,जो $y = x + 1$ में सरल हो जाता है।$(1, 2)$ पर

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$8\pi (3 - 2\sqrt{2})$

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(B) परवलय $y^2 = 4x$ के बिंदु $(1, 2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $2y = 4\left(\frac{x + 1}{2}\right)$ है,जो $y = x + 1$ में सरल हो जाता है।$(1, 2)$ पर अभिलंब की प्रवणता $-1$ है और यह $(1, 2)$ से गुजरता है,इसलिए इसका समीकरण $y - 2 = -1(x - 1)$ है,जो $y = -x + 3$ है।माना वृत्त का केंद्र $C(h, k)$ है। वृत्त $x$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए त्रिज्या $r = |k|$ है। केंद्र अभिलंब पर स्थित है,इसलिए $k = -h + 3$,अर्थात $h = 3 - k$ है। अतः केंद्र $C(3 - r, r)$ है।केंद्र $C(3 - r, r)$ से बिंदु $P(1, 2)$ की दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए:$PC^2 = r^2$$(3 - r - 1)^2 + (r - 2)^2 = r^2$$2(r - 2)^2 = r^2$$r^2 - 8r + 8 = 0$द्विघाती सूत्र का उपयोग करने पर,$r = 4 \pm 2\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।छोटे वृत्त के लिए,$r = 4 - 2\sqrt{2}$ लेते हैं।क्षेत्रफल $= \pi r^2 = \pi (4 - 2\sqrt{2})^2 = 8\pi (3 - 2\sqrt{2})$.

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यदि बिंदु $P(5,3)$ से गुजरने वाली रेखा वृत्त $x^2+y^2-2x-4y+\alpha=0$ को $A(4,2)$ और $B(x_1, y_1)$ पर मिलती है,तो $PA \cdot PB$ का मान ज्ञात कीजिए।

मूल बिंदु से वृत्त $x^2 + y^2 + 20(x + y) + 20 = 0$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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