X-अक्ष के ऊपर स्थित और वृत्त x^2+y^2=2ax तथा | vedclass

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Question

(B) दिए गए वक्र $x^2+y^2=2ax$ (जो $(x-a)^2+y^2=a^2$ है) और $y^2=ax$ हैं।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y^2=ax$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थाप

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$a^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2}{3}\right)$

Vedclass · Answer

(B) दिए गए वक्र $x^2+y^2=2ax$ (जो $(x-a)^2+y^2=a^2$ है) और $y^2=ax$ हैं।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y^2=ax$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करें: $x^2+ax=2ax \Rightarrow x^2-ax=0 \Rightarrow x(x-a)=0$. अतः,$x=0$ या $x=a$.$x=a$ के लिए,$y^2=a^2 \Rightarrow y=a$ (चूंकि हम $X$-अक्ष के ऊपर के क्षेत्र पर विचार कर रहे हैं)।छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल $x=0$ से $x=a$ तक वृत्त के नीचे के क्षेत्रफल में से परवलय के नीचे के क्षेत्रफल को घटाने पर प्राप्त होता है।क्षेत्रफल $= \int_0^a (y_{circle} - y_{parabola}) dx = \int_0^a (\sqrt{a^2-(x-a)^2} - \sqrt{ax}) dx$.क्षेत्रफल $= \int_0^a \sqrt{a^2-(x-a)^2} dx - \int_0^a \sqrt{ax} dx$.पहला समाकलन $a$ त्रिज्या वाले वृत्त के एक चौथाई भाग का क्षेत्रफल दर्शाता है,जो $\frac{\pi a^2}{4}$ है।दूसरा समाकलन $\sqrt{a} \int_0^a x^{1/2} dx = \sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_0^a = \sqrt{a} \cdot \frac{2}{3} a^{3/2} = \frac{2a^2}{3}$ है।अतः,आवश्यक क्षेत्रफल $\frac{\pi a^2}{4} - \frac{2a^2}{3} = a^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2}{3}\right)$ वर्ग इकाई है।

$X$-अक्ष के ऊपर स्थित और वृत्त $x^2+y^2=2ax$ तथा परवलय $y^2=ax$ के बीच घिरे छोटे क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) क्या है?

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वक्रों $y^{2}=2x$ और $y=x$ के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

$y = \cos^{-1}(\cos x)$, $x \in [2\pi, 4\pi]$, $x$-अक्ष और $y = \tan^{-1} x + \tan^{-1} \frac{1}{x}$ द्वारा घिरे हुए क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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वक्रों $y = (x + 1)^2$,$y = (x - 1)^2$ और रेखा $y = 0$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है

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