y=tan ^{-1} x,y=cot ^{-1} x और Y-अक्ष द्वारा | vedclass

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Question

(B) वक्र $y = 	an^{-1} x$ और $y = \cot^{-1} x$ वहाँ प्रतिच्छेद करते हैं जहाँ $	an^{-1} x = \cot^{-1} x$ होता है। चूँकि $\cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}

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$\log _e 2$

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(B) वक्र $y = 	an^{-1} x$ और $y = \cot^{-1} x$ वहाँ प्रतिच्छेद करते हैं जहाँ $	an^{-1} x = \cot^{-1} x$ होता है। चूँकि $\cot^{-1} x = \frac{\pi}{2} - 	an^{-1} x$,इसलिए $2 	an^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $	an^{-1} x = \frac{\pi}{4}$,अतः $x = 1$ है।वक्रों और $Y$-अक्ष $(x=0)$ द्वारा $x=0$ से $x=1$ तक परिबद्ध क्षेत्रफल ऊपरी वक्र और निचले वक्र के अंतर का समाकलन है।$x \in [0, 1]$ के लिए,$\cot^{-1} x \ge 	an^{-1} x$ है।क्षेत्रफल $= \int_0^1 (\cot^{-1} x - 	an^{-1} x) dx$$= \int_0^1 (\frac{\pi}{2} - 	an^{-1} x - 	an^{-1} x) dx = \int_0^1 (\frac{\pi}{2} - 2 	an^{-1} x) dx$$= \frac{\pi}{2} [x]_0^1 - 2 \int_0^1 	an^{-1} x dx$$= \frac{\pi}{2} - 2 [x 	an^{-1} x - \frac{1}{2} \log_e(1+x^2)]_0^1$$= \frac{\pi}{2} - 2 [ (1 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log_e 2) - (0 - 0) ]$$= \frac{\pi}{2} - 2 [ \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log_e 2 ]$$= \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} + \log_e 2 = \log_e 2$.अतः,सही विकल्प $(b)$ है।

$y=\tan ^{-1} x$,$y=\cot ^{-1} x$ और $Y$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है:

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