वक्रों y=frac{1}{4}left|4-x^2right| और y=7-|x | vedclass

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Question

(B) दिए गए वक्र $y=\frac{1}{4}|4-x^2|$ और $y=7-|x|$ हैं। दोनों वक्र $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित हैं।छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल $A = 2 \int_{0}^{4} (y

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$32$

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(B) दिए गए वक्र $y=\frac{1}{4}|4-x^2|$ और $y=7-|x|$ हैं। दोनों वक्र $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित हैं।छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल $A = 2 \int_{0}^{4} (y_{upper} - y_{lower}) dx$ द्वारा दिया जाता है।$x \in [0, 4]$ के लिए,$y_{upper} = 7-x$ और $y_{lower} = \frac{1}{4}|4-x^2|$ है।अतः,$A = 2 \int_{0}^{4} (7-x - \frac{1}{4}|4-x^2|) dx = 2 \left[ \int_{0}^{4} (7-x) dx - \frac{1}{4} \int_{0}^{4} |4-x^2| dx \right]$.प्रथम समाकलन की गणना: $\int_{0}^{4} (7-x) dx = [7x - \frac{x^2}{2}]_{0}^{4} = 28 - 8 = 20$.द्वितीय समाकलन की गणना: $\int_{0}^{4} |4-x^2| dx = \int_{0}^{2} (4-x^2) dx + \int_{2}^{4} (x^2-4) dx$.$= [4x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{2} + [\frac{x^3}{3} - 4x]_{2}^{4} = (8 - \frac{8}{3}) + ((\frac{64}{3} - 16) - (\frac{8}{3} - 8)) = \frac{16}{3} + (\frac{16}{3} - (-\frac{16}{3})) = \frac{16}{3} + \frac{32}{3} = \frac{48}{3} = 16$.इन मानों को क्षेत्रफल के सूत्र में रखने पर:$A = 2 [20 - \frac{1}{4}(16)] = 2 [20 - 4] = 2 [16] = 32$.अतः,क्षेत्रफल $32$ वर्ग इकाई है।

वक्रों $y=\frac{1}{4}\left|4-x^2\right|$ और $y=7-|x|$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल है

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