પ્રદેશ $R = \{(x, y) : 0 \le y \le \frac{27}{x}, 1 \le x \le 9\}$ નું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?

સાઇન અને કોસાઇન વિધેયોના આલેખ એકબીજાને ઘણા બિંદુઓ પર છેદે છે,અને છેદબિંદુઓના બે ક્રમિક બિંદુઓ વચ્ચે,બંને આલેખ સમાન ક્ષેત્રફળ $A$ ઘેરે છે. તો $A^{4}$ ની કિંમત ............ થાય.

$x=0$ અને $x=2 \pi$ વચ્ચે વક્ર $y=\cos x$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધો.

જો રેખા $x=\alpha$ એ પ્રદેશ $R=\{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x^3 \leq y \leq x, 0 \leq x \leq 1\}$ ના ક્ષેત્રફળને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?
$[A] \ 0 < \alpha \leq \frac{1}{2}$
$[B] \ \frac{1}{2} < \alpha < 1$
$[C] \ 2 \alpha^4 - 4 \alpha^2 + 1 = 0$
$[D] \ \alpha^4 + 4 \alpha^2 - 1 = 0$

જો પ્રદેશ $\{(x, y): -1 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq a + e^{|x|} - e^{-x}, a > 0\}$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{e^2 + 8e + 1}{e}$ હોય,તો $a$ ની કિંમત શોધો:

વક્ર $y = f(x)$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ,જે પ્રચલિત રીતે $x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, y = \frac{2t}{1 + t^2}$ (જ્યાં $t \in R$) તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,તે કેટલું થાય?