अतिपरवलय $xy = a^2$ के स्पर्शरेखा और निर्देशांक अक्षों द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है?

$P(6, 3)$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर एक बिंदु है। यदि बिंदु $P$ पर अभिलंब $x$-अक्ष को $(10, 0)$ पर काटता है,तो अतिपरवलय की उत्केंद्रता ज्ञात कीजिए।

यदि अतिपरवलय की नाभिलंब जीवा केंद्र पर समकोण अंतरित करती है,तो इसकी उत्केंद्रता है

मान लीजिए कि $R$ एक आयत है जो रेखाओं $x=0, x=2, y=0$ और $y=5$ द्वारा दिया गया है। मान लीजिए $A(\alpha, 0)$ और $B(0, \beta)$,जहाँ $\alpha \in [0, 2]$ और $\beta \in [0, 5]$,इस प्रकार हैं कि रेखाखंड $AB$ आयत $R$ के क्षेत्रफल को $4:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। तो,$AB$ का मध्य-बिंदु $.........$ पर स्थित है।

मान लीजिए कि $PQ$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की एक जीवा है, जो $x$-अक्ष के लंबवत है, इस प्रकार कि $OPQ$ एक समबाहु त्रिभुज है, जहाँ $O$ अतिपरवलय का केंद्र है। यदि अतिपरवलय की उत्केंद्रता $\sqrt{3}$ है, तो त्रिभुज $OPQ$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

सरल रेखा $2x - y = 0$ के समानांतर एक रेखा अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ को बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ पर स्पर्श करती है। तो $x_{1}^{2} + 5y_{1}^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।