frac{1-2x-x^2}{e^{-x}} के विस्तार में x^k का | vedclass

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Question

(A) हमारे पास $\frac{1-2x-x^2}{e^{-x}} = (1-2x-x^2)e^x$ है।$e^x$ को $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ के रूप में विस्तारित करने पर:$(1-2x-x^2) \sum

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1-k-k^2}{k!}$

Vedclass · Answer

(A) हमारे पास $\frac{1-2x-x^2}{e^{-x}} = (1-2x-x^2)e^x$ है।$e^x$ को $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ के रूप में विस्तारित करने पर:$(1-2x-x^2) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} - 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+2}}{n!}$।$x^k$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए:$1$. $\sum \frac{x^n}{n!}$ से,गुणांक $\frac{1}{k!}$ है।$2$. $-2 \sum \frac{x^{n+1}}{n!}$ में,$n+1=k \implies n=k-1$ रखने पर,गुणांक $-\frac{2}{(k-1)!}$ है।$3$. $-\sum \frac{x^{n+2}}{n!}$ में,$n+2=k \implies n=k-2$ रखने पर,गुणांक $-\frac{1}{(k-2)!}$ है।कुल गुणांक: $\frac{1}{k!} - \frac{2}{(k-1)!} - \frac{1}{(k-2)!} = \frac{1-2k-k(k-1)}{k!} = \frac{1-k-k^2}{k!}$।

$\frac{1-2x-x^2}{e^{-x}}$ के विस्तार में $x^k$ का गुणांक क्या है?

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