(1 + t^2)^{25}(1 + t^{25})(1 + t^{40})(1 + t^ | vedclass

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Question

(A) हमें $(1 + t^2)^{25}(1 + t^{25} + t^{40} + t^{45} + t^{47} + \dots)$ के विस्तार में $t^{50}$ का गुणांक ज्ञात करना है।$(1 + t^2)^{25} = \sum_{k=0}^

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$1 + ^{25}C_5$

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(A) हमें $(1 + t^2)^{25}(1 + t^{25} + t^{40} + t^{45} + t^{47} + \dots)$ के विस्तार में $t^{50}$ का गुणांक ज्ञात करना है।$(1 + t^2)^{25} = \sum_{k=0}^{25} {^{25}C_k} (t^2)^k = \sum_{k=0}^{25} {^{25}C_k} t^{2k}$ का विस्तार करने पर।$t^{50}$ प्राप्त करने के लिए,हम $(1 + t^2)^{25}$ और दूसरे गुणनखंड $(1 + t^{25} + t^{40} + t^{45} + t^{47} + \dots)$ के पदों का गुणनफल देखते हैं:$1$. दूसरे गुणनखंड से $1$ का गुणा $(1 + t^2)^{25}$ के $t^{50}$ पद के साथ (जहाँ $k=25$): गुणांक = $^{25}C_{25} = 1$.$2$. दूसरे गुणनखंड से $t^{40}$ का गुणा $(1 + t^2)^{25}$ के $t^{10}$ पद के साथ (जहाँ $k=5$): गुणांक = $^{25}C_5$.$t^{25} 	imes t^{25}$ जैसे अन्य संयोजन संभव नहीं हैं क्योंकि $(1 + t^2)^{25}$ में केवल $t$ की सम घातें होती हैं।अतः,$t^{50}$ का कुल गुणांक $1 + ^{25}C_5$ है।

$(1 + t^2)^{25}(1 + t^{25})(1 + t^{40})(1 + t^{45})(1 + t^{47})$ में $t^{50}$ का गुणांक - है।

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