श्रेणी ^{100}C_1 cdot 2^8 cdot (1 - x)^{99} + | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) दी गई श्रेणी $S = \sum_{r=1}^{9} {^{100}C_r \cdot 2^{9-r} \cdot (1-x)^{100-r}}$ है।हमें इस व्यंजक में $x^{91}$ का गुणांक ज्ञात करना है।$(1-x)^{100

Vedclass · Accepted Answer

$^{100}C_{9}(2^9 - 3^9)$

Vedclass · Answer

(C) दी गई श्रेणी $S = \sum_{r=1}^{9} {^{100}C_r \cdot 2^{9-r} \cdot (1-x)^{100-r}}$ है।हमें इस व्यंजक में $x^{91}$ का गुणांक ज्ञात करना है।$(1-x)^{100-r}$ का विस्तार $\sum_{k=0}^{100-r} {^{100-r}C_k (-x)^k}$ के रूप में किया जा सकता है।$(1-x)^{100-r}$ में $x^{91}$ का गुणांक $^{100-r}C_{91} (-1)^{91} = -^{100-r}C_{91}$ है।अतः,श्रेणी में $x^{91}$ का गुणांक $\sum_{r=1}^{9} {^{100}C_r \cdot 2^{9-r} \cdot (-^{100-r}C_{91})}$ है।सर्वसमिका $^{n}C_r \cdot ^{n-r}C_k = ^{n}C_k \cdot ^{n-k}C_r$ का उपयोग करने पर,$^{100}C_r \cdot ^{100-r}C_{91} = ^{100}C_{91} \cdot ^{100-91}C_r = ^{100}C_9 \cdot ^{9}C_r$ प्राप्त होता है।यह मान रखने पर,गुणांक $-\sum_{r=1}^{9} {^{100}C_9 \cdot ^{9}C_r \cdot 2^{9-r}} = -^{100}C_9 \sum_{r=1}^{9} {^{9}C_r \cdot 2^{9-r}}$ होता है।द्विपद प्रमेय का उपयोग करने पर,$(2+1)^9 = \sum_{r=0}^{9} {^{9}C_r \cdot 2^{9-r} \cdot 1^r} = ^{9}C_0 \cdot 2^9 + \sum_{r=1}^{9} {^{9}C_r \cdot 2^{9-r}}$।अतः,$\sum_{r=1}^{9} {^{9}C_r \cdot 2^{9-r}} = 3^9 - 2^9$।इसलिए,गुणांक $-^{100}C_9 (3^9 - 2^9) = ^{100}C_9 (2^9 - 3^9)$ है।

श्रेणी $^{100}C_1 \cdot 2^8 \cdot (1 - x)^{99} + ^{100}C_2 \cdot 2^7 \cdot (1 - x)^{98} + ^{100}C_3 \cdot 2^6 \cdot (1 - x)^{97} + \dots + ^{100}C_9 \cdot (1 - x)^{91}$ में $x^{91}$ का गुणांक - है।

Similar Questions

मान लीजिए $(2x^2 + 3x + 4)^{10} = \sum_{r=0}^{20} a_r x^r$. तो $\frac{a_7}{a_{13}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $(2 + \frac{3}{8}x)^{10}$ के विस्तार में $4^{th}$ पद का संख्यात्मक मान अधिकतम है,तो $x$ के मानों का परास ज्ञात कीजिए:

$(1 + \alpha x)^4$ और $(1 - \alpha x)^6$ के द्विपद विस्तार में $x$ की घातों में मध्य पद का गुणांक समान है यदि $\alpha$ का मान है

यदि $\left(\frac{\sqrt[5]{3}}{x}+\frac{2x}{\sqrt[3]{5}}\right)^{12}, x \neq 0$ के विस्तार में अचर पद $\alpha \times 2^8 \times \sqrt[5]{3}$ है,तो $25 \alpha$ का मान ज्ञात कीजिए :

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module