फलन f(x)=x^3+p x^2+q x+r (x in R) का कोई चरम | vedclass

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Question

(A) एक फलन $f(x)$ का कोई चरम मान नहीं होता यदि उसका अवकलज $f^{\prime}(x)$ अपना चिह्न न बदले,जिसका अर्थ है कि $f^{\prime}(x)$ या तो हमेशा गैर-ऋणात्मक ह

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$p^2 < 3 q$

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(A) एक फलन $f(x)$ का कोई चरम मान नहीं होता यदि उसका अवकलज $f^{\prime}(x)$ अपना चिह्न न बदले,जिसका अर्थ है कि $f^{\prime}(x)$ या तो हमेशा गैर-ऋणात्मक हो या हमेशा गैर-धनात्मक हो। दिया गया है $f(x) = x^3 + p x^2 + q x + r$। इसका अवकलज $f^{\prime}(x) = 3x^2 + 2px + q$ है। यदि $f(x)$ का कोई चरम मान नहीं है,तो $f^{\prime}(x)$ के भिन्न वास्तविक मूल नहीं होने चाहिए। इसका तात्पर्य है कि विविक्तकर (discriminant) $D \le 0$ होना चाहिए। द्विघात समीकरण $3x^2 + 2px + q$ के लिए विविक्तकर $D = (2p)^2 - 4(3)(q) = 4p^2 - 12q$ है। $D \le 0$ रखने पर: $4p^2 - 12q \le 0$ $4p^2 \le 12q$ $p^2 \le 3q$। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही शर्त $p^2 < 3q$ है।

फलन $f(x)=x^3+p x^2+q x+r$ $(x \in R)$ का कोई चरम मान (extreme value) न होने के लिए शर्त क्या है?

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