f(x)=x^{tan ^{-1} x} का g(x)=sec ^{-1}left(fr | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = x^{	an ^{-1} x}$. दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,$\log f(x) = 	an ^{-1} x \cdot \log x$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac

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$-\frac{1}{2} \sqrt{1-x^2} x^{	an ^{-1} x}\left[\frac{\log x}{1+x^2}+\frac{	an ^{-1} x}{x}ight]$

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(A) दिया गया है $f(x) = x^{	an ^{-1} x}$. दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,$\log f(x) = 	an ^{-1} x \cdot \log x$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{f(x)} \frac{df}{dx} = \frac{1}{1+x^2} \log x + \frac{	an ^{-1} x}{x}$. अतः,$\frac{df}{dx} = x^{	an ^{-1} x} \left[ \frac{\log x}{1+x^2} + \frac{	an ^{-1} x}{x} ight]$. अब,$g(x) = \sec ^{-1} \left( \frac{1}{2x^2-1} ight) = \cos ^{-1} (2x^2-1)$. $x = \cos 	heta$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,$g(x) = \cos ^{-1} (2 \cos^2 	heta - 1) = \cos ^{-1} (\cos 2	heta) = 2	heta = 2 \cos ^{-1} x$. $g(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dg}{dx} = 2 \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} ight) = -\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}$. अंत में,$f(x)$ का $g(x)$ के सापेक्ष अवकलज $\frac{df}{dg} = \frac{df/dx}{dg/dx} = \frac{x^{	an ^{-1} x} \left[ \frac{\log x}{1+x^2} + \frac{	an ^{-1} x}{x} ight]}{-2/\sqrt{1-x^2}} = -\frac{1}{2} \sqrt{1-x^2} x^{	an ^{-1} x} \left[ \frac{\log x}{1+x^2} + \frac{	an ^{-1} x}{x} ight]$.

$f(x)=x^{\tan ^{-1} x}$ का $g(x)=\sec ^{-1}\left(\frac{1}{2 x^2-1}\right)$ के सापेक्ष अवकलज क्या है?

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