y = x^{ln x} का अवकलज (derivative) क्या है? | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $y = x^{\ln x}$।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\ln y = \ln(x^{\ln x})$।गुणधर्म $\l

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$2x^{\ln x - 1} \ln x$

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(C) दिया गया है $y = x^{\ln x}$।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\ln y = \ln(x^{\ln x})$।गुणधर्म $\ln(a^b) = b \ln a$ का उपयोग करते हुए,$\ln y = (\ln x)(\ln x) = (\ln x)^2$।अब $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर (chain rule का उपयोग करते हुए):$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2(\ln x) \cdot \frac{d}{dx}(\ln x)$।$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2(\ln x) \cdot \frac{1}{x}$।$\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{2 \ln x}{x}$।$y = x^{\ln x}$ का मान वापस रखने पर:$\frac{dy}{dx} = x^{\ln x} \cdot \frac{2 \ln x}{x} = 2 x^{\ln x} \cdot x^{-1} \cdot \ln x$।$\frac{dy}{dx} = 2 x^{\ln x - 1} \ln x$।

$y = x^{\ln x}$ का अवकलज (derivative) क्या है?

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$\frac{d}{d x}(x^{2 x}) =$ . . . . . . ,$x > 0$

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