x = 0 पर {tan ^{ - 1}}left( {frac{{sqrt {1 + | vedclass

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Question

(B) माना $y = {	an ^{ - 1}}\left( {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} - 1}}{x}} ight)$ और $z = {	an ^{ - 1}}\left( {\frac{{2x\sqrt {1 - {x^2}} }}{{1 - 2{x^2

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{4}$

Vedclass · Answer

(B) माना $y = {	an ^{ - 1}}\left( {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} - 1}}{x}} ight)$ और $z = {	an ^{ - 1}}\left( {\frac{{2x\sqrt {1 - {x^2}} }}{{1 - 2{x^2}}}} ight)$ है।$y$ के लिए,$x = 	an 	heta$ रखने पर,$	heta = {	an ^{ - 1}}x$ प्राप्त होता है।$y = {	an ^{ - 1}}\left( {\frac{{\sec 	heta - 1}}{{	an 	heta }}} ight) = {	an ^{ - 1}}\left( {\frac{{1 - \cos 	heta }}{{\sin 	heta }}} ight) = {	an ^{ - 1}}\left( {	an \frac{	heta }{2}} ight) = \frac{	heta }{2} = \frac{1}{2}{	an ^{ - 1}}x$.अतः,$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{1}{2(1 + {x^2})}$.$z$ के लिए,$x = \sin 	heta$ रखने पर,$	heta = {\sin ^{ - 1}}x$ प्राप्त होता है।$z = {	an ^{ - 1}}\left( {\frac{{2\sin 	heta \cos 	heta }}{{1 - 2\sin^2 	heta }}} ight) = {	an ^{ - 1}}\left( {\frac{{\sin 2	heta }}{{\cos 2	heta }}} ight) = {	an ^{ - 1}}(	an 2	heta ) = 2	heta = 2{\sin ^{ - 1}}x$.अतः,$\frac{{dz}}{{dx}} = \frac{2}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}$.अब,$\frac{{dy}}{{dz}} = \frac{{dy/dx}}{{dz/dx}} = \frac{1}{2(1 + {x^2})} 	imes \frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{{4(1 + {x^2})}}$.$x = 0$ पर,$\frac{{dy}}{{dz}} = \frac{{\sqrt {1 - 0} }}{{4(1 + 0)}} = \frac{1}{4}$.

$x = 0$ पर ${\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} - 1}}{x}} \right)$ का ${\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{2x\sqrt {1 - {x^2}} }}{{1 - 2{x^2}}}} \right)$ के सापेक्ष अवकलज ज्ञात कीजिए।

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