वक्रों के परिवार {y^2} = 2c(x + sqrt{c}) को न | vedclass

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Question

(D) दिया गया वक्र ${y^2} = 2c(x + \sqrt{c})$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 2c$,जिसका अर्थ है $c = y \frac{dy}{dx}.$ $c$ का मान

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$(a)$ और $(c)$ दोनों

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(D) दिया गया वक्र ${y^2} = 2c(x + \sqrt{c})$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 2c$,जिसका अर्थ है $c = y \frac{dy}{dx}.$ $c$ का मान मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: ${y^2} = 2 \left( y \frac{dy}{dx} \right) \left( x + \sqrt{y \frac{dy}{dx}} \right).$ पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{y}{2(dy/dx)} - x = \sqrt{y \frac{dy}{dx}}.$ दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\left( \frac{y}{2(dy/dx)} - x \right)^2 = y \frac{dy}{dx}.$ $4(dy/dx)^2$ से गुणा करने पर: $(y - 2x(dy/dx))^2 = 4y(dy/dx)^3.$ वर्ग का विस्तार करने पर: ${y^2} - 4xy \frac{dy}{dx} + 4{x^2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = 4y \left( \frac{dy}{dx} \right)^3.$ मानक रूप में व्यवस्थित करने पर: $4y \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 - 4{x^2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 4xy \frac{dy}{dx} - {y^2} = 0.$ यहाँ उच्चतम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,इसलिए कोटि $1$ है। उच्चतम अवकलज की घात $3$ है,इसलिए घात $3$ है। अतः,अवकल समीकरण की कोटि $1$ और घात $3$ है।

वक्रों के परिवार ${y^2} = 2c(x + \sqrt{c})$ को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण,जहाँ $c$ एक धनात्मक प्राचल है,की

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उस अवकल समीकरण की कोटि (order) क्या है जिसका हल $y = a\cos x + b\sin x + c{e^{ - x}}$ है?

अवकल समीकरण $y^{\prime \prime} + 2y^{\prime} + \sin(y) = 0$ की कोटि और घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।

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