समतलों x - y + 2z = 5 और 3x + y + z = 6 के प् | vedclass

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Question

(A) दो समतलों $a_1x + b_1y + c_1z = d_1$ और $a_2x + b_2y + c_2z = d_2$ के प्रतिच्छेदन से बनी रेखा के दिक्-अनुपात उनके अभिलंबों $\vec{n_1} = (1, -1, 2)

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{-3}{5\sqrt{2}}, \frac{5}{5\sqrt{2}}, \frac{4}{5\sqrt{2}}$

Vedclass · Answer

(A) दो समतलों $a_1x + b_1y + c_1z = d_1$ और $a_2x + b_2y + c_2z = d_2$ के प्रतिच्छेदन से बनी रेखा के दिक्-अनुपात उनके अभिलंबों $\vec{n_1} = (1, -1, 2)$ और $\vec{n_2} = (3, 1, 1)$ के सदिश गुणनफल (cross product) के समानुपाती होते हैं।माना दिक्-अनुपात $(a, b, c) = \vec{n_1} 	imes \vec{n_2}$ हैं।$(a, b, c) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & -1 & 2 \ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 2) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(1 + 3) = -3\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$.अतः,दिक्-अनुपात $(-3, 5, 4)$ हैं।इसका परिमाण $\sqrt{(-3)^2 + 5^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 25 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ है।दिक्-कोसाइन $\left(\frac{-3}{5\sqrt{2}}, \frac{5}{5\sqrt{2}}, \frac{4}{5\sqrt{2}}ight)$ या $\left(\frac{3}{5\sqrt{2}}, \frac{-5}{5\sqrt{2}}, \frac{-4}{5\sqrt{2}}ight)$ होंगे।दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $A$ सही है।

समतलों $x - y + 2z = 5$ और $3x + y + z = 6$ के प्रतिच्छेदन से बनी रेखा के दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए।

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बिंदु $O(\vec{0})$ की समतल $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=5$ से सदिश $2 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k}$ के समांतर मापी गई दूरी क्या है?

रेखा $r = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k} + \lambda(\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k})$ और समतल $r \cdot (\hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}) = 5$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

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