$m$ દળ ધરાવતા કણનો સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{r}(t) = A \cos \omega t \hat{i} + B \sin \omega t \hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(a)$ સાબિત કરો કે ગતિપથ ઉપવલય (ellipse) છે.
$(b)$ સાબિત કરો કે $\vec{F} = -m \omega^2 \vec{r}$.

(N/A) આપેલ સ્થાનાંતર સદિશ: $\vec{r}(t) = (A \cos \omega t) \hat{i} + (B \sin \omega t) \hat{j}$.
$(a)$ $\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j}$ સાથે સરખાવતા,$x = A \cos \omega t$ અને $y = B \sin \omega t$ મળે છે.
તેથી,$\frac{x}{A} = \cos \omega t$ અને $\frac{y}{B} = \sin \omega t$.
નિત્યસમ $\cos^2 \omega t + \sin^2 \omega t = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$(\frac{x}{A})^2 + (\frac{y}{B})^2 = 1$ મળે છે,જે ઉપવલયનું સમીકરણ છે.
$(b)$ વેગ $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = -A \omega \sin \omega t \hat{i} + B \omega \cos \omega t \hat{j}$.
પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = -A \omega^2 \cos \omega t \hat{i} - B \omega^2 \sin \omega t \hat{j}$.
$-\omega^2$ સામાન્ય લેતા,$\vec{a} = -\omega^2 (A \cos \omega t \hat{i} + B \sin \omega t \hat{j}) = -\omega^2 \vec{r}$.
$\vec{F} = m\vec{a}$ હોવાથી,$\vec{F} = -m \omega^2 \vec{r}$ સાબિત થાય છે.