$(-4,0)$ અને $(4,0)$ પર નાભિ ધરાવતા અને $(3 \sqrt{2}, \sqrt{10})$ માંથી પસાર થતા ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

ધારો કે $\frac{x^2}{f(a^2 + 7a + 3)} + \frac{y^2}{f(3a + 15)} = 1$ એ y-અક્ષ પર મુખ્ય અક્ષ ધરાવતું ઉપવલય દર્શાવે છે, જ્યાં $f$ એ $R$ પર ઘટતું વિધેય છે. જો $a$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો ગણ $R - [\alpha, \beta]$ હોય, તો $\alpha^2 + \beta^2$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે ઉપવલય $E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ નું એક નાભિ $S(4, 0)$ છે અને તેની ઉત્કેન્દ્રિયતા $\frac{4}{5}$ છે. જો બિંદુ $P(3, \alpha)$ એ $E$ પર આવેલું હોય અને $O$ એ ઉગમબિંદુ હોય, તો $\triangle POS$ નું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય ($\text{/5}$ માં)?

$(5, 15)$ અને $(21, 15)$ પર નાભિ ધરાવતા ઉપવલયનો વિચાર કરો. જો $X$-અક્ષ એ ઉપવલયનો સ્પર્શક હોય,તો તેની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ કેટલી થાય?

ધારો કે $x = 9$ એ ઉપવલય $E$ ની નિયામિકા છે, જેનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર છે અને ઉત્કેન્દ્રિયતા $1/3$ છે. ધારો કે $P(\alpha, 0), \alpha > 0$, એ $E$ નું નાભિ છે અને $AB$ એ $P$ માંથી પસાર થતી જીવા છે. તો $AB$ ના મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ શોધો:

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{32} = 1$ ને $- \frac{4}{3}$ ઢાળ ધરાવતો સ્પર્શક મુખ્ય અને ગૌણ અક્ષોને અનુક્રમે $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં છેદે,તો $\Delta OAB$ નું ક્ષેત્રફળ .................. $sq. \text{ units}$ થાય ($O$ એ ઉપવલયનું કેન્દ્ર છે).