ધારો કે $x = 9$ એ ઉપવલય $E$ ની નિયામિકા છે, જેનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર છે અને ઉત્કેન્દ્રિયતા $1/3$ છે. ધારો કે $P(\alpha, 0), \alpha > 0$, એ $E$ નું નાભિ છે અને $AB$ એ $P$ માંથી પસાર થતી જીવા છે. તો $AB$ ના મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ શોધો:

ઉપવલય $x^2+16y^2=16$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ શોધો જે $X$-અક્ષ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.

ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ માટે,જેના શિરોબિંદુઓ $A$ અને $A'$ છે,પ્રથમ ચરણમાં આવેલા બિંદુ $P$ પર દોરેલો સ્પર્શક $y$-અક્ષને $Q$ માં મળે છે અને જીવા $A'P$ એ $y$-અક્ષને $M$ માં મળે છે. જો $O$ ઉગમબિંદુ હોય,તો $OQ^2 - MQ^2$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $O(0, 0)$ અને $A(0, 1)$ બે નિશ્ચિત બિંદુઓ છે. તો બિંદુ $P$ નો બિંદુપથ શોધો જેથી $\Delta AOP$ ની પરિમિતિ $4$ થાય.

ધારો કે રેખા $2x + 3y - k = 0, k > 0$,$x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષને અનુક્રમે $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં છેદે છે. જો રેખાખંડ $AB$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 3x - 2y = 0$ હોય અને ઉપવલય $x^2 + 9y^2 = k^2$ ના નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{m}{n}$ હોય,જ્યાં $m$ અને $n$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે,તો $2m + n$ ની કિંમત શોધો.

એક ઉપવલય (ellipse) ધ્યાનમાં લો,જેનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર છે અને તેની મુખ્ય અક્ષ $x-$ અક્ષ પર છે. જો તેની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) $\frac{3}{5}$ હોય અને તેના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $6$ હોય,તો ઉપવલયમાં અંતર્ગત ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં),જેના શિરોબિંદુઓ ઉપવલયના શિરોબિંદુઓ છે,તે શોધો.