ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

$15 \ cm$ લંબાઈનો એક સળિયો $AB$ બે યામ અક્ષોની વચ્ચે એવી રીતે રાખેલ છે કે જેથી અંત્યબિંદુ $A$ એ $x-$અક્ષ પર અને અંત્યબિંદુ $B$ એ $y-$અક્ષ પર હોય. સળિયા પર એક બિંદુ $P(x, y)$ એવી રીતે લેવામાં આવે છે કે જેથી $AP = 6 \ cm$ થાય. સાબિત કરો કે $P$ નો બિંદુપથ એક ઉપવલય (ellipse) છે.

જે બિંદુઓને $(p_1/q_1, p_2/q_2)$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય (જ્યાં $p_i$ અને $q_i$ $(i = 1, 2)$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે) અને જે ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ પર આવેલા હોય,તેવા બિંદુઓની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $x \cos \alpha + y \sin \alpha = 4$ એ $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ નો સ્પર્શક હોય,તો $\alpha$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $F_1$ અને $F_2$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{3} = 1$ ના નાભિઓ $S_1$ અને $S_2$ માંથી ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ આગળના સ્પર્શક પર દોરેલા લંબના લંબપાદ હોય,તો $(S_1 F_1) (S_2 F_2)$ ની કિંમત કેટલી થાય?

જો રેખા $y=2x+c$ એ વક્ર $x^2+4y^2=4$ ને સ્પર્શતી હોય,તો $c^2=$