अतिपरवलय (hyperbola) की उत्केंद्रता (eccentricity) $e$ कभी भी निम्नलिखित में से किस मान के बराबर नहीं हो सकती?

यदि रेखा $2x + \sqrt{6}y = 2$ अतिपरवलय $x^2 - 2y^2 = 4$ को स्पर्श करती है,तो स्पर्श बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

अतिपरवलय $H : x^2-y^2=1$ और केंद्र $N(x_2, 0)$ वाले वृत्त $S$ पर विचार करें। मान लीजिए कि $H$ और $S$ एक-दूसरे को बिंदु $P(x_1, y_1)$ पर स्पर्श करते हैं जहाँ $x_1 > 1$ और $y_1 > 0$ है। $P$ पर $H$ और $S$ की उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा $x$-अक्ष को बिंदु $M$ पर काटती है। यदि $(l, m)$ त्रिभुज $\triangle PMN$ का केंद्रक है,तो सही कथन है/हैं:
$(A) \frac{dl}{dx_1} = 1 - \frac{1}{3x_1^2}$ जहाँ $x_1 > 1$
$(B) \frac{dm}{dx_1} = \frac{x_1}{3\sqrt{x_1^2-1}}$ जहाँ $x_1 > 1$
$(C) \frac{dl}{dx_1} = 1 + \frac{1}{3x_1^2}$ जहाँ $x_1 > 1$
$(D) \frac{dm}{dy_1} = \frac{1}{3}$ जहाँ $y_1 > 0$

आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) की उत्केंद्रता का व्युत्क्रम क्या है?

मान लीजिए $H: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ एक अतिपरवलय है जिसकी नाभियों के बीच की दूरी $6$ है और इसकी नियताओं के बीच की दूरी $\frac{8}{3}$ है। यदि रेखा $x = k$ अतिपरवलय $H$ को बिंदुओं $A$ और $B$ पर इस प्रकार काटती है कि त्रिभुज $AOB$ का क्षेत्रफल $4\sqrt{15}$ है, जहाँ $O$ मूलबिंदु है, तो $a^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $P$ अतिपरवलय $H: \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ पर प्रथम चतुर्थांश में स्थित एक बिंदु है,इस प्रकार कि $P$ और $H$ की दो नाभियों द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $2 \sqrt{13}$ है। तब,मूल बिंदु से $P$ की दूरी का वर्ग है