उस अतिपरवलय की उत्केंद्रता क्या है जो बिंदुओं $(3,0)$ और $(3\sqrt{2}, 2)$ से होकर गुजरता है?

अतिपरवलय $H : x^2-y^2=1$ और केंद्र $N(x_2, 0)$ वाले वृत्त $S$ पर विचार करें। मान लीजिए कि $H$ और $S$ एक-दूसरे को बिंदु $P(x_1, y_1)$ पर स्पर्श करते हैं जहाँ $x_1 > 1$ और $y_1 > 0$ है। $P$ पर $H$ और $S$ की उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा $x$-अक्ष को बिंदु $M$ पर काटती है। यदि $(l, m)$ त्रिभुज $\triangle PMN$ का केंद्रक है,तो सही कथन है/हैं:
$(A) \frac{dl}{dx_1} = 1 - \frac{1}{3x_1^2}$ जहाँ $x_1 > 1$
$(B) \frac{dm}{dx_1} = \frac{x_1}{3\sqrt{x_1^2-1}}$ जहाँ $x_1 > 1$
$(C) \frac{dl}{dx_1} = 1 + \frac{1}{3x_1^2}$ जहाँ $x_1 > 1$
$(D) \frac{dm}{dy_1} = \frac{1}{3}$ जहाँ $y_1 > 0$

रेखा $lx + my + n = 0$,अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा होगी,यदि

मान लीजिए कि मानक रूप में एक अतिपरवलय की अनुप्रस्थ और संयुग्मी अक्ष की लंबाई क्रमशः $2a$ और $2b$ है,और इस अतिपरवलय की एक नाभि और संगत नियता क्रमशः $(-5, 0)$ और $5x + 9 = 0$ हैं। यदि अतिपरवलय पर स्थित एक बिंदु $(\alpha, 2\sqrt{5})$ की नाभीय दूरियों का गुणनफल $p$ है,तो $4p$ का मान . . . . . . है।

$x+y+3=0$ और $2x-y+1=0$ एक अतिपरवलय के अनंतस्पर्शी (asymptotes) के समीकरण हैं। यदि $(1,-2)$ इस अतिपरवलय पर एक बिंदु है,तो इसके संयुग्मी अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए।

यदि $x=9$ अतिपरवलय $x^2-y^2=9$ की स्पर्श जीवा (chord of contact) है,तो स्पर्श बिंदु में से एक पर स्पर्श रेखा का समीकरण क्या है?