एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) के किनारों | vedclass

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Question

(A) सदिशों $\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}$ द्वारा परिभाषित समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $|\hat{a} \cdot (\hat{b} 	imes \hat{c})|$ द्वारा दिया

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$\frac{1}{\sqrt{2}}$

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(A) सदिशों $\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}$ द्वारा परिभाषित समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $|\hat{a} \cdot (\hat{b} 	imes \hat{c})|$ द्वारा दिया जाता है।यह ग्राम मैट्रिक्स के सारणिक के वर्गमूल के बराबर होता है:आयतन $= \sqrt{\det \begin{bmatrix} \hat{a} \cdot \hat{a} & \hat{a} \cdot \hat{b} & \hat{a} \cdot \hat{c} \ \hat{b} \cdot \hat{a} & \hat{b} \cdot \hat{b} & \hat{b} \cdot \hat{c} \ \hat{c} \cdot \hat{a} & \hat{c} \cdot \hat{b} & \hat{c} \cdot \hat{c} \end{bmatrix}}$.दिया गया है कि $\hat{a} \cdot \hat{a} = \hat{b} \cdot \hat{b} = \hat{c} \cdot \hat{c} = 1$ और $\hat{a} \cdot \hat{b} = \hat{b} \cdot \hat{c} = \hat{c} \cdot \hat{a} = 1/2$,इसलिए:आयतन $= \sqrt{\det \begin{bmatrix} 1 & 1/2 & 1/2 \ 1/2 & 1 & 1/2 \ 1/2 & 1/2 & 1 \end{bmatrix}}$.सारणिक की गणना करने पर: $1(1 - 1/4) - 1/2(1/2 - 1/4) + 1/2(1/4 - 1/2) = 1(3/4) - 1/2(1/4) + 1/2(-1/4) = 3/4 - 1/8 - 1/8 = 3/4 - 2/8 = 3/4 - 1/4 = 1/2$.अतः,आयतन $\sqrt{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

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