ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $(b>a)$ અને પરવલય $y^2=4ax$ કાટખૂણે છેદે છે. જો $e$ એ ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા હોય,તો $2e^2=$

બે વક્રોના કુળ $y^2=4ax$ ($a$ એ પ્રાચલ છે) અને $x^2+\frac{y^2}{2}=c^2$ ($c$ એ પ્રાચલ છે) ધ્યાનમાં લો. જો દરેક કુળમાંથી એક વક્ર પસંદ કરવામાં આવે, તો તે બે વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો કેટલો થાય?

$PQ$ એ પરવલય $y^2 = 4ax$ ની દ્વિ-કોટિ (double ordinate) છે. $P$ અને $Q$ આગળના અભિલંબના છેદબિંદુનો બિંદુપથ શું થાય?

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{3} = 1$ ના બિંદુ $\left( 2, \frac{3}{2} \right)$ આગળનો અભિલંબ એક પરવલયને સ્પર્શતો હોય,તો તે પરવલયનું સમીકરણ શોધો.

જે ઉપવલયનું નાભિકેન્દ્ર $(-1, 1)$,ઉત્કેન્દ્રિતા $1/2$ અને નિયામિકા $x - y + 3 = 0$ હોય,તેવા ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો.

સ્તંભ $1, 2$ અને $3$ માં અનુક્રમે શંકુઓ,સ્પર્શકોના સમીકરણો અને સ્પર્શબિંદુઓ આપેલા છે.
(કોષ્ટક માટે અંગ્રેજી સંસ્કરણ જુઓ)
$(1)$ યોગ્ય શંકુ (સ્તંભ $1$) પર $(\sqrt{3}, 1/2)$ આગળનો સ્પર્શક $\sqrt{3}x+2y=4$ છે. કયું સંયોજન સાચું છે?
$(2)$ જો યોગ્ય શંકુ (સ્તંભ $1$) નો સ્પર્શક $y=x+8$ હોય અને તેનું સ્પર્શબિંદુ $(8, 16)$ હોય,તો કયું સંયોજન સાચું છે?
$(3)$ $a=\sqrt{2}$ માટે,જો યોગ્ય શંકુ (સ્તંભ $1$) પર $(-1, 1)$ બિંદુએ સ્પર્શક દોરવામાં આવે,તો કયું સંયોજન સાચું છે?