समतलों ax + by + cz + d = 0 और a'x + b'y + c' | vedclass

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Question

(C) समतलों $ax + by + cz + d = 0$ और $a'x + b'y + c'z + d' = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल का समीकरण $(ax + by + cz + d) + \lambda (a'x +

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$(ab' - a'b)y + (ac' - a'c)z + (ad' - a'd) = 0$

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(C) समतलों $ax + by + cz + d = 0$ और $a'x + b'y + c'z + d' = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल का समीकरण $(ax + by + cz + d) + \lambda (a'x + b'y + c'z + d') = 0$ द्वारा दिया जाता है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $x(a + \lambda a') + y(b + \lambda b') + z(c + \lambda c') + (d + \lambda d') = 0$ प्राप्त होता है ... $(i)$। चूंकि यह समतल रेखा $y = 0, z = 0$ (जो $x$-अक्ष है) के समांतर है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $x$-अक्ष के दिशा सदिश $(1, 0, 0)$ के लंबवत होना चाहिए। अतः,अभिलंब सदिश $(a + \lambda a', b + \lambda b', c + \lambda c')$ और $(1, 0, 0)$ का डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए: $1(a + \lambda a') + 0(b + \lambda b') + 0(c + \lambda c') = 0$। इससे $a + \lambda a' = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $\lambda = -\frac{a}{a'}$। $\lambda = -\frac{a}{a'}$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर: $(ax + by + cz + d) - \frac{a}{a'}(a'x + b'y + c'z + d') = 0$। $a'$ से गुणा करने पर,हमें $a'ax + a'by + a'cz + a'd - aa'x - ab'y - ac'z - ad' = 0$ प्राप्त होता है। सरल करने पर,$(a'b - ab')y + (a'c - ac')z + (a'd - ad') = 0$ प्राप्त होता है। $-1$ से गुणा करने पर,हमें $(ab' - a'b)y + (ac' - a'c)z + (ad' - a'd) = 0$ प्राप्त होता है।

समतलों $ax + by + cz + d = 0$ और $a'x + b'y + c'z + d' = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले और रेखा $y = 0, z = 0$ के समांतर समतल का समीकरण क्या है?

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