मूल बिंदु से गुजरने वाले और समीकरण (1 + {x^2} | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1 + {x^2})\frac{{dy}}{{dx}} + 2xy = 4{x^2}$ है।$(1 + {x^2})$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{{dy}}{{dx}} + \frac{{2x}}{{1 +

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$3(1 + {x^2})y = 4{x^3}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1 + {x^2})\frac{{dy}}{{dx}} + 2xy = 4{x^2}$ है।$(1 + {x^2})$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{{dy}}{{dx}} + \frac{{2x}}{{1 + {x^2}}}y = \frac{{4{x^2}}}{{1 + {x^2}}}$ प्राप्त होता है।यह $\frac{{dy}}{{dx}} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{{2x}}{{1 + {x^2}}}$ और $Q = \frac{{4{x^2}}}{{1 + {x^2}}}$ है।समाकलन गुणक $(I.F.)$ $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2x}{1+x^2} dx} = e^{\ln(1+x^2)} = 1+x^2$ द्वारा प्राप्त होता है।व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ है।मान रखने पर,$y(1 + {x^2}) = \int \frac{{4{x^2}}}{{1 + {x^2}}} (1 + {x^2}) dx + c$।$y(1 + {x^2}) = \int 4{x^2} dx + c = \frac{{4{x^3}}}{3} + c$।चूंकि वक्र मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरता है,इसलिए $x=0$ और $y=0$ रखने पर: $0(1+0) = 0 + c$,जिससे $c = 0$ प्राप्त होता है।अतः,वक्र का समीकरण $y(1 + {x^2}) = \frac{{4{x^3}}}{3}$,या $3y(1 + {x^2}) = 4{x^3}$ है।

मूल बिंदु से गुजरने वाले और समीकरण $(1 + {x^2})\frac{{dy}}{{dx}} + 2xy = 4{x^2}$ को संतुष्ट करने वाले वक्र का समीकरण क्या है?

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निम्नलिखित अवकल समीकरण को हल कीजिए: $\left(x^2+1\right) \frac{dy}{dx} + 4xy = \frac{1}{x^2+1}$

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