परवलय $y^2-x+4y+5=0$ की नियता (directrix) का समीकरण है

मान लीजिए कि $A_1, B_1, C_1$ $xy$-समतल में तीन बिंदु हैं। मान लीजिए कि रेखाएँ $A_1 C_1$ और $B_1 C_1$ वक्र $y^2=8x$ पर क्रमशः $A_1$ और $B_1$ पर स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि $O=(0,0)$ और $C_1=(-4,0)$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ रेखाखंड $OA_1$ की लंबाई $4\sqrt{3}$ है
$(B)$ रेखाखंड $A_1 B_1$ की लंबाई $16$ है
$(C)$ त्रिभुज $A_1 B_1 C_1$ का लंबकेंद्र $(0,0)$ है
$(D)$ त्रिभुज $A_1 B_1 C_1$ का लंबकेंद्र $(1,0)$ है

परवलय $x^2 = 4ay$ की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए जो शीर्ष से होकर गुजरती है और जिसका ढाल $\tan \alpha$ है।

यदि $(0, 0)$ एक परवलय का शीर्ष है और $3x - 4y + 2 = 0$ उसकी नियता (directrix) है,तो उसके नाभिलंब (latus rectum) की लंबाई ज्ञात कीजिए। ($/5$ में)

$x = 2$ रेखा के अनुदिश यात्रा कर रही प्रकाश की एक किरण $y^2 - 2y - 4x + 5 = 0$ समीकरण वाले परवलयाकार दर्पण से टकराती है और उसकी सतह से परावर्तित होती है। तो परावर्तित किरण का समीकरण क्या हो सकता है?

मान लीजिए कि $A$ और $B$ परवलय $y^{2}=4x$ पर दो अलग-अलग बिंदु हैं। यदि परवलय का अक्ष $AB$ को व्यास मानकर बनाए गए $r$ त्रिज्या वाले वृत्त को स्पर्श करता है, तो रेखा $AB$ की ढाल क्या है?