$xy$-समतल के समांतर और $z$-अक्ष पर $3$ लंबाई का अंतःखंड काटने वाले समतल का समीकरण है

उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूल बिंदु से $7$ इकाई की दूरी पर है और सदिश $3 \hat{i} + 5 \hat{j} - 6 \hat{k}$ पर लंब है।

बिंदुओं $(1, 2, 3)$,$(-1, 4, 2)$ और $(3, 1, 1)$ से होकर गुजरने वाले समतल का समीकरण है

मूल बिंदु से इकाई दूरी पर स्थित एक समतल तीन अक्षों को $P, Q, R$ बिंदुओं पर काटता है। यदि $\Delta PQR$ का केंद्रक $(x, y, z)$ है और यह $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = k$ समीकरण को संतुष्ट करता है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $P(\lambda, 2, 1)$ उस समतल पर एक बिंदु है जो बिंदु $Q(4, -2, 2)$ से होकर गुजरता है। यदि समतल बिंदुओं $A(-2, -21, 29)$ और $B(-1, -16, 33)$ को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत है,तो $\left(\frac{\lambda}{11}\right)^{2} - \frac{4\lambda}{11} - 4$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि समतलों $x-2y+3z-5=0$ और $x+\alpha y+2z+7=0$ के बीच का कोण $\cos^{-1}\left(\frac{1}{14}\right)$ है,तो $\alpha$ के मानों के बीच का अंतर ज्ञात कीजिए।