परवलयों के निकाय $y = ax^2$ के लंबकोणीय प्रक्षेप पथ (orthogonal trajectories) का समीकरण है

मान लीजिए $f : [0,1] \to R$ इस प्रकार है कि सभी $x, y \in [0,1]$ के लिए $f(xy) = f(x)f(y)$ है,और $f(0) \ne 0.$ यदि $y = y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = f(x)$ को संतुष्ट करता है जहाँ $y(0) = 1,$ तो $y\left( \frac{1}{4} \right) + y\left( \frac{3}{4} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक गाँव की जनसंख्या उस समय की जनसंख्या के समानुपाती दर से बढ़ती है। $10$ वर्षों की अवधि में,जनसंख्या $20,000$ से बढ़कर $40,000$ हो गई,तो अगले $20$ वर्षों के बाद जनसंख्या क्या होगी?

एक निश्चित संवर्धन में बैक्टीरिया के बढ़ने की दर उपस्थित संख्या के समानुपाती है। यदि यह $5$ घंटे में दोगुनी हो जाती है,तो $25$ घंटे में इसकी संख्या मूल संख्या की ......... गुनी होगी।

एक कल्चर में,बैक्टीरिया की संख्या $1,00,000$ है। $2$ घंटों में यह संख्या $10 \%$ बढ़ जाती है। यदि बैक्टीरिया के बढ़ने की दर उपस्थित संख्या के समानुपाती है,तो कितने घंटों में संख्या $2,00,000$ हो जाएगी?

किसी देश की जनसंख्या के बढ़ने की दर वर्तमान जनसंख्या के समानुपाती है। यदि जनसंख्या $50$ वर्षों में दोगुनी हो जाती है,तो इसे स्वयं का चार गुना होने में कितना समय लगेगा ($\text{वर्ष}$ में)?