વિધેય $f(x) = \begin{cases} \frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x, & |x| \leq 1 \\ \frac{1}{2}(|x|-1), & |x| > 1 \end{cases}$ માટે:

જો $y = \frac{1}{1 + x^{n-m} + x^{p-m}} + \frac{1}{1 + x^{m-n} + x^{p-n}} + \frac{1}{1 + x^{m-p} + x^{n-p}}$ હોય,તો $x = e^{m^{n^p}}$ આગળ $\frac{dy}{dx}$ ની કિંમત કેટલી થાય?

ધારો કે $f:\left[-\frac{1}{2}, 2\right] \rightarrow R$ અને $g:\left[-\frac{1}{2}, 2\right] \rightarrow R$ એ $f(x)=\left[x^2-3\right]$ અને $g(x)=|x| f(x)+|4 x-7| f(x)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેયો છે,જ્યાં $[y]$ એ $y \in R$ માટે $y$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે. તો
$(A)$ $f$ એ $\left[-\frac{1}{2}, 2\right]$ માં બરાબર ત્રણ બિંદુઓ પર અસતત છે
$(B)$ $f$ એ $\left[-\frac{1}{2}, 2\right]$ માં બરાબર ચાર બિંદુઓ પર અસતત છે
$(C)$ $g$ એ $\left(-\frac{1}{2}, 2\right)$ માં બરાબર ચાર બિંદુઓ પર વિકલનીય નથી
$(D)$ $g$ એ $\left(-\frac{1}{2}, 2\right)$ માં બરાબર પાંચ બિંદુઓ પર વિકલનીય નથી

જો $y=\frac{(\sqrt{x}+1)(x^2-\sqrt{x})}{x \sqrt{x}+x+\sqrt{x}}+\frac{1}{15}(3 \cos^2 x-5) \cos^3 x$ હોય,તો $96 y'(\frac{\pi}{6})$ ની કિંમત શોધો:

નીચેના વિધાનોનું અવલોકન કરો:
$I. f(x) = a x^{41} + b x^{-40} \Rightarrow \frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)} = 1640 x^{-2}$
$II. \frac{d}{d x} \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right) = \frac{1}{1+x^2}$
નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(0)=0$,$f(\frac{\pi}{2})=3$ અને $f^{\prime}(0)=1$. જો $g(x)=\int_x^{\pi / 2} [f^{\prime}(t) \operatorname{cosec} t - f(t) \operatorname{cosec} t \cot t] dt$ એ $x \in (0, \frac{\pi}{2}]$ માટે હોય,તો $\lim _{x \rightarrow 0} g(x)=$