frac{dy}{dx} = frac{x+y}{x-y} का व्यापक हल है | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x-y}$.यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.

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$	an^{-1} \frac{y}{x} - \frac{1}{2} \log |x^2+y^2| = c$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x-y}$.यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.समीकरण में मान रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x+vx}{x-vx} = \frac{1+v}{1-v}$.$x \frac{dv}{dx} = \frac{1+v}{1-v} - v = \frac{1+v-v+v^2}{1-v} = \frac{1+v^2}{1-v}$.चरों को अलग करने पर: $\int \frac{1-v}{1+v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$.$\int \frac{1}{1+v^2} dv - \frac{1}{2} \int \frac{2v}{1+v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $	an^{-1}(v) - \frac{1}{2} \log |1+v^2| = \log |x| + c$.$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $	an^{-1}(\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} \log |1 + \frac{y^2}{x^2}| = \log |x| + c$.$	an^{-1}(\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} \log |\frac{x^2+y^2}{x^2}| = \log |x| + c$.$	an^{-1}(\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} (\log |x^2+y^2| - \log |x^2|) = \log |x| + c$.$	an^{-1}(\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} \log |x^2+y^2| + \log |x| = \log |x| + c$.अतः,$	an^{-1}(\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} \log |x^2+y^2| = c$.

$\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x-y}$ का व्यापक हल है

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