अवकल समीकरण x dy - y dx = sqrt{x^2 + y^2} dx | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x dy - y dx = \sqrt{x^2 + y^2} dx$ है। दोनों पक्षों को $x dx$ से विभाजित करने पर ($x 
eq 0$ मानते हुए),हमें प्राप्त होता है

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$y + \sqrt{x^2 + y^2} = c x^2$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x dy - y dx = \sqrt{x^2 + y^2} dx$ है। दोनों पक्षों को $x dx$ से विभाजित करने पर ($x 
eq 0$ मानते हुए),हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^2}{x^2}}$. माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$. इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v + \sqrt{1 + v^2}$. दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर: $x \frac{dv}{dx} = \sqrt{1 + v^2}$. चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \frac{dx}{x}$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \int \frac{dx}{x}$. $\log |v + \sqrt{1 + v^2}| = \log |x| + \log |c|$. $v + \sqrt{1 + v^2} = cx$. $v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर: $\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^2}{x^2}} = cx$. $\frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x} = cx$. $y + \sqrt{x^2 + y^2} = cx^2$.

अवकल समीकरण $x dy - y dx = \sqrt{x^2 + y^2} dx$ का व्यापक हल है

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