अवकल समीकरण (1+tan y)(dx-dy)+2x dy=0 का व्याप | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(1+	an y)(dx-dy)+2x dy=0$ है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(1+	an y)dx = (1+	an y - 2x)dy$ प्राप्त होता है। $(1+	an y

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$e^y(x \cos y+x \sin y-\sin y)=c$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(1+	an y)(dx-dy)+2x dy=0$ है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(1+	an y)dx = (1+	an y - 2x)dy$ प्राप्त होता है। $(1+	an y)dy$ से भाग देने पर,$\frac{dx}{dy} = 1 - \frac{2x}{1+	an y}$ मिलता है,जिसे $\frac{dx}{dy} + \left(\frac{2}{1+	an y}ight)x = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{2}{1+	an y} = \frac{2\cos y}{\sin y + \cos y}$ है। समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(y)dy} = e^{\int \frac{2\cos y}{\sin y + \cos y} dy}$ है। चूंकि $\int \frac{2\cos y}{\sin y + \cos y} dy = \int \frac{(\cos y - \sin y) + (\cos y + \sin y)}{\sin y + \cos y} dy = \int \left(\frac{\cos y - \sin y}{\sin y + \cos y} + 1ight) dy = \ln|\sin y + \cos y| + y$ है। अतः,$I.F. = e^{\ln(\sin y + \cos y) + y} = e^y(\sin y + \cos y)$। हल $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + c$ है। $x e^y(\sin y + \cos y) = \int e^y(\sin y + \cos y) dy + c$। सूत्र $\int e^y(f(y) + f'(y)) dy = e^y f(y) + c$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $f(y) = \sin y$ और $f'(y) = \cos y$ है,हमें प्राप्त होता है: $x e^y(\sin y + \cos y) = e^y \sin y + c$। पुनर्व्यवस्थित करने पर $e^y(x \sin y + x \cos y - \sin y) = c$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $(1+\tan y)(dx-dy)+2x dy=0$ का व्यापक हल है

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