अवकल समीकरण (x^2+xy)y'=y^2 का व्यापक हल है | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(x^2+xy)y'=y^2$.$(x^2+xy)$ से भाग देने पर, हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x^2+xy} = \frac{y^2}{x(x+y)}$.

Vedclass · Accepted Answer

$cy=e^{-\frac{y}{x}}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(x^2+xy)y'=y^2$.$(x^2+xy)$ से भाग देने पर, हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x^2+xy} = \frac{y^2}{x(x+y)}$.यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y=vx$, तो $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{(vx)^2}{x^2+x(vx)} = \frac{v^2x^2}{x^2(1+v)} = \frac{v^2}{1+v}$.पदों को व्यवस्थित करने पर: $x\frac{dv}{dx} = \frac{v^2}{1+v} - v = \frac{v^2 - v - v^2}{1+v} = \frac{-v}{1+v}$.चरों को पृथक करने पर: $\frac{1+v}{v} dv = -\frac{1}{x} dx$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (\frac{1}{v} + 1) dv = -\int \frac{1}{x} dx$.$\ln|v| + v = -\ln|x| + C$.$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\ln|\frac{y}{x}| + \frac{y}{x} = -\ln|x| + C$.$\ln|y| - \ln|x| + \frac{y}{x} = -\ln|x| + C$.$\ln|y| + \frac{y}{x} = C$.दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $e^{\ln|y| + \frac{y}{x}} = e^C$.$y \cdot e^{\frac{y}{x}} = K$ (जहाँ $K = e^C$).व्यवस्थित करने पर $e^{-\frac{y}{x}} = cy$ प्राप्त होता है (जहाँ $c = 1/K$).

अवकल समीकरण $(x^2+xy)y'=y^2$ का व्यापक हल है

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