अवकल समीकरण $(2x + 3y^2) dy = y dx$ $(y > 0)$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) है

मान लीजिए $y=y(x)$ अवकल समीकरण $(x \cos x) dy + (xy \sin x + y \cos x - 1) dx = 0$,$0 < x < \frac{\pi}{2}$ का एक हल है। यदि $\frac{\pi}{3} y(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ है,तो $|\frac{\pi}{6} y''(\frac{\pi}{6}) + 2 y'(\frac{\pi}{6})|$ का मान $.........$ है।

मान लीजिए कि $y=y(x)$ समीकरण $\frac{dy}{dx}-|A|=0$ को संतुष्ट करता है,सभी $x>0$ के लिए,जहाँ $A=\begin{bmatrix} y & \sin x & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & \frac{1}{x} \end{bmatrix}$ है। यदि $y(\pi)=\pi+2$ है,तो $y\left(\frac{\pi}{2}\right)$ का मान क्या है?

मान लीजिए $f :(0, \infty) \rightarrow R$ एक फलन है जो अपने प्रांत के सभी बिंदुओं पर अवकलनीय है और शर्त $x^2 f^{\prime}(x)=2 x f(x)+3$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $f(1)=4$ है। तो $2 f(2)$ का मान ज्ञात कीजिए:

अवकल समीकरण $(1-x^2) \frac{dy}{dx} + xy = kx$ के लिए $(-1 < x < 1)$ समाकलन गुणक (Integrating Factor) . . . . . . है।

यदि अवकल समीकरण $\begin{vmatrix} f(x) & f'(x) \\ f'(x) & f''(x) \end{vmatrix} = 0$ सभी $x$ के लिए सत्य है और $f(0) = 1, f'(0) = 2$ है, तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?